Sens de variations d'une fonction

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Définition

• \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si, pour tout `x` de `I`, \(f ′(x)\) est positive.
  
• \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si, pour tout `x` de `I`, \(f ′(x)\) est négative.
  

Exemple

Soit la fonction \(f(x) = x ^ 2 - 4 x + 6\) une fonction définie sur \(R\).

\(\)On définit la dérivé de \(f'(x)\) de la fonction \(f\) : \(f'(x) = 2x - 4\).

On résout \(f'(x)=0\), c'est-à-dire qu'on résout l'équation \(2x - 4 = 0\) qui donne \(x = 2\).

• Pour \(x < 2\) : \(2x - 4 < 0\), donc \(f'(x)\) est négative.
  
• Pour \(x > 2\) : \(2x - 4 > 0\), donc \(f'(x)\) est positive.
  

On dessine le tableau de variations de la fonction \(f\).

• Sur \(] -\infty ; 2 [\) , \(f'(x) < 0\). La fonction `f` est décroissante.
• Sur \(] 2 ; + \infty[\) , \(f'(x) > 0\). La fonction `f` est croissante.